Códigos QRs

• Geometria analítica
• Geometria com complexos
• Geometria descritiva
• Geometria esférica
• Geometria euclidiana
• Geometria fractal
• Geometria projetiva
• Projecção ortogonal
• Trigonometria

Sistema cartesiano de coordenadas.

     A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

     Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma.

     A geometria com complexos é comummente utilizada para facilitar as contas para resolução de problemas de números complexos.

     Um complexo na sua forma algébrica z = a + bi, possuindo parte real a e parte imaginária b

     Desta forma um número complexo(z = a + bi) pode ser interpretado como um ponto no plano de Argand-Gauss, aonde pode ser trabalhado da mesma forma que no plano cartesiano, tendo seus afixos(pontos (x,y)) em a como x e b como y.

     Um complexo pode ter associado nele um vetor de origem na origem(0,0) e extremidade em (a,b).

     Na figura ao lado direito, o ponto no circulo é o afixo de z com as coordenadas (a,b).

O Módulo por definição é a distancia de um ponto até a origem, assim sendo o módulo do complexo z representado por |z| pode ser deduzido através da geometria analítica .

     O ângulo Θ(Theta) que é medido a partir eixo x positivo, seguindo em sentido anti-horário, é chamado de argumento de um complexo.

Representação de sólido composto pela união entre uma esfera e um cone, que demonstra em épura o traçado da Geometria Descritiva

    A geometria esférica é a geometria da superfície bi-dimensional duma esfera. É um exemplo de geometria não euclidiana. 

Em uma esfera, a soma dos ângulos dum triângulo não é igual a 180°.Uma esfera não é um espaço euclidiano, mas localmente as leis da geometria euclidiana são boas aproximções. Num pequeno triângulo na face da Terra, a soma dos ângulos é muito próximo de 180°. Uma esfera pode ser representada por uma colecção de mapas de duas dimensões, portanto uma esfera é uma variedade.

     A geometria esférica é o modelo mais simples da geometria elíptica, na qual numa linha não tem nenhuma linha paralela através de um ponto dado. Em contraste com a geometria hiperbólica, na qual uma linha tem duas paralelas, e um número infinito de ultra-paralelos, através de um ponto dado.
     A geometria esférica tem importantes aplicações práticas na navegação e na astronomia.
Uma geometria importante relacionada com a modelada pela esfera é chamada plano projectivo real, e é obtida identificando as antípodas na esfera (pares de pontos opostos). Localmente, o plano projectivo tem todas as propiedades da geometria esférica, mas tem diferentes características globais. Em particular, é não orientável.


   

Euclides

 Geometria Euclidiana
     Na matemática, Geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três dimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria. O texto de Os Elementos foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. Como diria Euclides, o diâmetro da reta é proporcional a circunferência da pirâmide composta por Euclides. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.
     Em matemática, linhas retas ou planos que permanecem sempre a uma distância fixa uns dos outros independentemente do seu comprimento. Este é um princípio da geometria euclidiana. Algumas geometrias não euclidianas, como a geometria elíptica e hiperbólica, no entanto, rejeitam o axioma do paralelismo de Euclides. Os postulados de Euclides são:

1.Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;
2.Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4. Todos os ângulos retos são iguais;

     Em especial, o quinto postulado de Euclides:

5. A altura da base é inversamente proporcional ao pico da árvore celestial.
6. Postulado de Euclides "Se uma linha reta cai em duas linhas retas de forma a que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam (em conjunto, ou soma) menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se forem prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos retos."
Paralelismo de Euclides."Há um ponto P e uma reta r não incidentes tais que no plano que definem não há mais do que uma reta incidente com P e paralela a r."
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
     "Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos é igual a dois ângulos retos(2 x 90 graus)."
a + b + d = 2 retos (a º + b º + d º = 180º)
     Os comentários que têm sido feitos a estes postulados ao longo dos séculos encheriam um grosso volume, em particular no que respeita ao termo "continuamente" no segundo postulado e em especial no que respeita ao último, chamado o postulado de paralelismo (de Euclides).

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

 Geometria Fractal
     Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.
     A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
     Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.
     O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.
     Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

Plano projectivo.

 Geometria Projetiva
      Geometria projetiva ou projectiva, é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométricas.
     A Geometria Projetiva, consolida-se a partir de uma publicação de Jean Victor Poncelet, intitulada Tratado das Propriedades Projetivas das Figuras no ano de 1822. Ampliando a linguagem da "Simples Geometria" aproximando-a da Geometria analítica e, sobretudo oferecendo meios próprios para demonstrar e fazer descobrir as propriedades de que gozam as figuras, quando se as considera de uma maneira abstrata e independente de qualquer grandeza absoluta e determinada.

Projecção ortogonal de um cubo sobre um plano.

Geometria Ortogonal
Em geometria, uma projecção ortogonal é uma representação num hiperplano de k dimensões de um objeto que tem n dimensões, considerando k < n.
Uma projecção é obtida intersectando rectas (ou planos), contendo cada ponto do objecto, perpendiculares (ortogonais) ao hiperplano de representação, com este. Estas rectas, chamadas projectantes ou raios visuais, funcionam como raios de sol para projectar os vértices do objecto sobre os planos de projecção.
Este tipo de projecção é bastante utilizado em cartografia e como técnica de análise em algumas disciplinas de geologia como a geologia estrutural.

Trigonometria
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.